기저 (선형대수학)

3. 성질

모든 벡터 공간은 기저를 가진다(기저 존재 정리). 한 벡터 공간의 모든 기저는 같은 수의 원소를 가지며, 이 원소의 수를 벡터 공간의 차원이라고 한다. 벡터 공간의 부분집합 B가 기저가 되기 위한 필요충분조건은 다음 중 하나와 동치이다.

• B는 V의 극소 생성계이다. 즉, B는 V의 생성계이며, B에 포함되는 어떤 부분집합도 V를 생성하지 않는다.
• B는 V의 벡터로 이루어진 극대 선형독립계이다. 즉, B는 선형 독립계이며, B를 포함하는 V의 어떤 부분집합도 선형 독립계가 아니다.
• V에 속하는 어떤 벡터도, B에 속하는 벡터의 선형결합으로 단 한 가지 방법으로 표현된다.

4. 기저의 종류

유클리드 공간 $\backslash R^n$에서 n개의 단위 벡터 (1,0,...,0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1)로 구성된 기저를 '''표준 기저'''라고 한다.^[3] 예를 들어, $\backslash R^2$의 표준 기저는 (1,0), (0,1)이다.

내적공간에서 서로 직교하며(두 벡터의 내적이 0) 크기가 1인 벡터들로 구성된 기저를 '''정규직교기저'''라고 한다. $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$의 표준 기저는 정규직교기저의 한 예이다.

5. 좌표

벡터 공간 V의 순서 기저 B = {b₁, ..., bₙ}가 주어졌을 때, V의 임의의 벡터 v는 v = c₁b₁ + ... + cₙbₙ으로 유일하게 표현된다.^[10] 이때 스칼라 c₁, ..., cₙ을 벡터 v의 기저 B에 대한 좌표라고 한다. 순서 기저가 주어지면, 벡터 공간의 벡터는 그 좌표와 일대일 대응된다.

유클리드 공간에서 점과 그 좌표가 일대일 대응하는 것과 비슷하게, 일반 벡터 공간에서 주어진 기저에 따라 '''좌표'''를 구성할 수 있다. 다만, 일반 벡터 공간에서도 순서를 추가한 기저, 즉 '''순서기저'''가 필요하다.

벡터 공간 $V$의 '''순서기저'''는 전순서를 갖춘, $V$의 기저이다. 유한차원 벡터 공간의 경우, 기저에 자연수 첨수를 주는 것으로 충분하다. 유한차원 벡터 공간 $V$ 및 그 순서기저 $B=\backslash \{b\_1,\backslash ldots,b\_n\backslash \}$이 주어졌다고 하면, 벡터 $v\backslash in\; V$의 기저 $B$에 대한 '''좌표'''는 $v=c\_1b\_1+\backslash cdots+c\_nb\_n$을 만족하는 스칼라의 튜플

:$(v)\_B=(c\_1,\backslash ldots,c\_n)$

이다.

이에 따라, 벡터 공간의 순서기저가 주어졌을 때, 벡터는 그 좌표와 일대일 대응한다. 예를 들어 $3\; \backslash mathbf\; b\_1\; +\; 2\; \backslash mathbf\; b\_2$와 $2\; \backslash mathbf\; b\_1\; +\; 3\; \backslash mathbf\; b\_2$는 동일한 계수 집합을 가지지만 서로 다르다.

일반적으로, $F^n$을 체 $F$의 원소의 n-튜플의 집합이라고 하면, 이 집합은 성분별로 정의된 덧셈과 스칼라 곱셈을 갖는 $F$-벡터 공간이다. $F^n$은 $V$의 좌표 공간이며, n-튜플$\backslash varphi^\{-1\}(\backslash mathbf\; v)$는 $\backslash mathbf\; v$의 좌표 벡터이다.

6. 기저의 변환

위의 차원 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 에 두 (순서) 기저 $B\_\backslash text\{old\}\; =\; (\backslash mathbf\; v\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf\; v\_n)$와 $B\_\backslash text\{new\}\; =\; (\backslash mathbf\; w\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf\; w\_n)$이 주어지면, $B\_\backslash mathrm\{old\}$에 대한 벡터 의 좌표를 $B\_\backslash mathrm\{new\}$에 대한 좌표로 표현하는 것이 유용할 때가 많다. 이것은 아래에 설명된 '기저 변환 공식'을 통해 수행할 수 있다. 아래첨자 "old"와 "new"는 $B\_\backslash mathrm\{old\}$와 $B\_\backslash mathrm\{new\}$를 각각 '옛 기저'와 '새 기저'라고 부르는 것이 일반적이기 때문에 선택되었다. 일반적으로 옛 좌표를 포함하는 수식이 주어지고, 새 좌표로 동등한 수식을 얻고 싶을 때, 옛 좌표를 새 좌표로 표현한 것으로 대체하여 얻을 수 있기 때문에 새 좌표로 표현하는 것이 유용하다.

일반적으로, 새 기저 벡터는 옛 기저에 대한 좌표로 주어진다. 즉,

:$$\backslash mathbf\; w\_j\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_\{i,j\}\; \backslash mathbf\; v\_i.$$

$(x\_1,\; \backslash ldots,\; x\_n)$과 $(y\_1,\; \backslash ldots,\; y\_n)$이 각각 옛 기저와 새 기저에 대한 벡터 의 좌표라면, 기저 변환 공식은 다음과 같다.

:$$x\_i\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; a\_\{i,j\}y\_j,$$

(에 대해)

이 공식은 행렬 표기법으로 간결하게 작성할 수 있다. 를 의 행렬이라고 하고,

:$$X=\; \backslash begin\{bmatrix\}\; x\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; x\_n\; \backslash end\{bmatrix\}\; \backslash quad\; \backslash text\{and\}\; \backslash quad\; Y\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}\; y\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; y\_n\; \backslash end\{bmatrix\}$$

를 각각 옛 기저와 새 기저에서 의 좌표의 열 벡터라고 하면, 좌표를 변환하는 공식은 다음과 같다.

:$$X\; =\; A\; Y.$$

이 공식은 두 기저에 대한 벡터 의 분해를 고려하여 증명할 수 있다. 다음이 성립한다.

:$$\backslash mathbf\; x\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i\; \backslash mathbf\; v\_i,$$

그리고

:$$\backslash mathbf\; x\; =\backslash sum\_\{j=1\}^n\; y\_j\; \backslash mathbf\; w\_j$$

= \sum_{j=1}^n y_j\sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf v_i

= \sum_{i=1}^n \biggl(\sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\biggr)\mathbf v_i.

기저 변환 공식은 기저, 여기서는 에 대한 벡터의 분해의 유일성으로부터 결과적으로 나온다. 즉,

:$$x\_i\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; a\_\{i,j\}\; y\_j,$$

(에 대해)

7. 기저의 확장

슈타이니츠 교환 보조정리에 따르면, 유한 벡터 공간 V의 선형 독립 부분 집합 S에 대해, V의 기저 $S_{+n} = S \cup \{ \boldsymbol{v}_1, ..., \boldsymbol{v}_n \in \overline{\operatorname{span}(S)} \} \subset V$가 항상 존재한다.^[12] 이를 기저 확장 정리라고 하며, "S를 기저로 확장한다"는 의미를 가진다.

이 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. (개략) 선형 독립인 $S \subset V$가 생성하는 부분 공간 $\operatorname{span}(S)$에 대해, 그 여집합 $\overline{\operatorname{span}(S)}$의 임의의 원소 $\boldsymbol{v_1}$는 S의 선형 결합으로 표현할 수 없기 때문에^[13] $S_{+1} = S \cup \{ \boldsymbol{v}_1 \}$도 또한 선형 독립이 된다.^[14] 마찬가지로 $\overline{\operatorname{span}(S_{+k})}$의 원소를 더하여 $S_$을 구성하고 이를 $\overline{\operatorname{span}(S_{+n})} = \varnothing$ 즉 $\operatorname{span}(S_{+n}) = V$가 될 때까지 유한 번^[15] 반복하면, $S_{+n}$은 선형 독립이고 V의 생성계(기저)가 되어 정리가 증명된다.

이러한 기저는 거의 항상 여러 개 존재하며, 유일하게 결정되는 경우는 드물다. (예를 들어 S가 이미 기저인 경우, S가 공집합인 경우, V가 두 원소 집합인 경우 등)

8. 관련 개념

가군은 환을 체로 대체하여 정의할 수 있다. 가군의 선형 독립과 생성 집합은 벡터 공간과 동일하게 정의되지만, "생성 집합"이 더 일반적으로 사용된다.

가군의 ''기저''는 선형 독립이면서 생성 집합인 부분 집합이다. 모든 가군이 기저를 갖는 것은 아니며, 기저를 갖는 가군은 ''자유 가군''이라고 한다. 자유 가군은 자유 분해를 통해 비자유 가군의 구조를 설명하는 데 사용된다.

정수 위의 가군은 아벨 군과 같고, 정수 위 자유 가군은 자유 아벨 군이다. 자유 아벨 군은 다른 환 위 가군에서는 공유되지 않는 속성을 갖는다. 즉, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이다.

무한 차원 실수 또는 복소수 벡터 공간에서, 이 문서에서 정의된 기저는 '''하멜 기저'''(게오르크 하멜^[2]의 이름을 따서 명명됨) 또는 '''대수적 기저'''라고도 불린다. 이는 힐베르트 공간의 정규 직교 기저, 샤우더 기저, 노름 선형 공간의 마르쿠셰비치 기저 등 추가 구조가 부여된 무한 차원 벡터 공간의 다른 "기저" 개념과 구별하기 위함이다.

이러한 개념들은 기저 벡터의 무한 선형 결합으로 공간을 생성할 수 있다는 공통점이 있다. 이는 무한 합이 의미 있게 정의되어야 함을 요구하며, 힐베르트 공간, 바나흐 공간, 프레셰 공간 등 위상 벡터 공간에서 가능하다.

푸리에 급수 연구에서, 함수 ''f''는 다음과 같이 표현될 수 있다.



그러나 많은^[3] 제곱 적분 가능 함수는 이 기저 함수의 ''유한한'' 선형 결합으로 표현될 수 없어 Hamel 기저를 구성하지 않는다.

아핀 공간, 사영 공간, 볼록 집합, 원뿔은 관련된 ''기저'' 개념을 갖는다.^[4] ''n''차원 아핀 공간의 '''아핀 기저'''는 일반 선형 위치에 있는 $n+1$개의 점이다. '''사영 기저'''는 ''n''차원 사영 공간에서 일반 위치에 있는 $n+2$개의 점이다. 다면체의 '''볼록 기저'''는 볼록 껍질의 꼭짓점 집합이다. '''원뿔 기저'''^[5]는 다각형 원뿔의 각 모서리마다 한 개의 점으로 구성된다. 힐베르트 기저 (선형 계획법)도 참고할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Finite-Dimensional Vector Spaces https://books.google[...] Springer
_[2] 논문
_[3] 문서
_[4] 서적 Notes on Geometry https://books.google[...] Springer
_[5] 간행물 Some remarks about additive functions on cones
_[6] 간행물 Stochastic choice of basis functions in adaptive function approximation and the functional-link net
_[7] 간행물 Approximation with Random Bases: Pro et Contra
_[8] 간행물 Proportional concentration phenomena of the sphere http://www.tau.ac.il[...]
_[9] 논문
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서
_[17] 문서
_[18] 문서
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_[20] 문서
_[21] 문서
_[22] 논문
_[23] 웹사이트 http://www.scielo.cl[...]
_[24] 문서
_[25] 문서
_[26] 서적 Linear algebra https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 2018